以下の対数の計算問題を解きます。 (1) $\log_2 \frac{10}{9} + \log_2 \frac{3}{5} - \log_2 \frac{2}{3}$ (2) $2\log_2 12 - \frac{1}{4}\log_2 \frac{8}{9} - 5\log_2 \sqrt{3}$ (3) $(\log_{10} 2)^3 + (\log_{10} 5)^3 + \log_{10} 5 \cdot \log_{10} 8$

1. 問題の内容

以下の対数の計算問題を解きます。

(1) $\log_2 \frac{10}{9} + \log_2 \frac{3}{5} - \log_2 \frac{2}{3}$

(2) $2\log_2 12 - \frac{1}{4}\log_2 \frac{8}{9} - 5\log_2 \sqrt{3}$

(3) $(\log_{10} 2)^3 + (\log_{10} 5)^3 + \log_{10} 5 \cdot \log_{10} 8$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を用いて計算します。

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

$\log_2 \frac{10}{9} + \log_2 \frac{3}{5} - \log_2 \frac{2}{3} = \log_2 (\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{5} \div \frac{2}{3}) = \log_2 (\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2})$

$= \log_2 (\frac{90}{90}) = \log_2 1$

(2) 対数の性質を用いて計算します。

$n\log_a x = \log_a x^n$

$\log_2 12^2 - \log_2 (\frac{8}{9})^{\frac{1}{4}} - \log_2 (\sqrt{3})^5 = \log_2 144 - \log_2 (\frac{2^3}{3^2})^{\frac{1}{4}} - \log_2 3^{\frac{5}{2}}$

$= \log_2 144 - \log_2 \frac{2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}}} - \log_2 3^{\frac{5}{2}} = \log_2 (144 \div \frac{2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}}} \div 3^{\frac{5}{2}}) = \log_2 (144 \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})$

$= \log_2 (144 \cdot \frac{1}{2^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{3^2}) = \log_2 (\frac{144}{9 \cdot 2^{\frac{3}{4}}}) = \log_2 (\frac{16}{2^{\frac{3}{4}}}) = \log_2 (\frac{2^4}{2^{\frac{3}{4}}})$

$= \log_2 2^{4-\frac{3}{4}} = \log_2 2^{\frac{13}{4}} = \frac{13}{4}$

(3) $(\log_{10} 2)^3 + (\log_{10} 5)^3 + \log_{10} 5 \cdot \log_{10} 8$

$\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10} (2 \cdot 5) = \log_{10} 10 = 1$

$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$

$\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3\log_{10} 2$

$(\log_{10} 2)^3 + (1-\log_{10} 2)^3 + (1-\log_{10} 2)(3\log_{10} 2)$

$a = \log_{10} 2$と置くと、

$a^3 + (1-a)^3 + (1-a)(3a) = a^3 + (1-3a+3a^2-a^3) + (3a-3a^2) = a^3 + 1 - 3a + 3a^2 - a^3 + 3a - 3a^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{13}{4}$

(3) 1