与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、与えられた式は

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

となります。

次に、この式を因数分解することを考えます。

式を並び替えて、$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + b^2c + bc^2$

$a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

別の方法として、与えられた式に $a+b+c$ が含まれている可能性があることに気づくと、

$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2 + 2bc + c^2) = (a+b)(b+c)^2 = ab^2 + 2abc + ac^2 + b^3 + 2b^2c + bc^2$

となり、この式は

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

と展開できることを利用します。

式をさらに整理すると、

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc + 2abc = ab(a+b) + abc + bc(b+c) + 2abc+ca(c+a)$

$= b(a^2+ab+ac+c^2)+bc(b+c)+2abc=ab(a+b+c)+bc(b+c)+ca(c+a) + abc$

与えられた式を $(a+b)(b+c)(c+a)$ と比較すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+2bc+c^2)$

$= a(b^2+2bc+c^2)+b(b^2+2bc+c^2)$

$= ab^2+2abc+ac^2+b^3+2b^2c+bc^2$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc+abc-abc+abc= ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc$

したがって、$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$