兄と弟が、兄の所持金の $\frac{1}{2}$ と弟の所持金の $\frac{1}{3}$ の合計金額を出し合って6000円の本を買った。支払った後、兄の残金は弟の残金の2倍になった。支払う前の兄と弟の所持金はそれぞれいくらか。

1. 問題の内容

兄と弟が、兄の所持金の $\frac{1}{2}$ と弟の所持金の $\frac{1}{3}$ の合計金額を出し合って6000円の本を買った。支払った後、兄の残金は弟の残金の2倍になった。支払う前の兄と弟の所持金はそれぞれいくらか。

2. 解き方の手順

兄の所持金を $x$ 円、弟の所持金を $y$ 円とする。

本の代金を支払った金額に関する式は、

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 6000$

残金について、兄の残金は $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$ 、弟の残金は $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$ 。兄の残金は弟の残金の2倍であるから、

$\frac{1}{2}x = 2 \times \frac{2}{3}y$

$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3}y$

2つの式を連立方程式として解く。

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 6000$ ...(1)

$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3}y$ ...(2)

(2)より、$x = \frac{8}{3}y$

これを(1)に代入する。

$\frac{1}{2} \times \frac{8}{3}y + \frac{1}{3}y = 6000$

$\frac{4}{3}y + \frac{1}{3}y = 6000$

$\frac{5}{3}y = 6000$

$y = 6000 \times \frac{3}{5} = 3600$

$x = \frac{8}{3} \times 3600 = 8 \times 1200 = 9600$

3. 最終的な答え

兄の所持金は9600円、弟の所持金は3600円である。