与えられた式 $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形にできると仮定し、$4 - \sqrt{15} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ となるような $a$ と $b$ を探します。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ なので、

$a + b = 4$

$4ab = 15$

となる $a$ と $b$ を探します。$ab = \frac{15}{4}$ です。

$a$ と $b$ は $t^2 - 4t + \frac{15}{4} = 0$ の解です。

$4t^2 - 16t + 15 = 0$

$(2t - 5)(2t - 3) = 0$

$t = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

よって、$a = \frac{5}{2}$、 $b = \frac{3}{2}$ とすると、

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}})^2} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$