この問題は、商品Bの費用関数 $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + c$ から利益 $z$ を求め、固定費用が3であるとき、$c$ の値を求め、さらに $x \geq 0$ の範囲における $z$ の最大値と、その時の $x$ の値を求める問題です。また、$h(x) = x^2 - 6x + 9$ で定義される2つの放物線 $C_1: y = h(x)$ と $C_2: y = h(x+4)$ の交点や、それらとy軸で囲まれた図形の面積などを求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、商品Bの費用関数 $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + c$ から利益 $z$ を求め、固定費用が3であるとき、$c$ の値を求め、さらに $x \geq 0$ の範囲における $z$ の最大値と、その時の $x$ の値を求める問題です。また、$h(x) = x^2 - 6x + 9$ で定義される2つの放物線 $C_1: y = h(x)$ と $C_2: y = h(x+4)$ の交点や、それらとy軸で囲まれた図形の面積などを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、商品Bの固定費用が3であることから、$c$ の値を求めます。固定費用は、商品Bを生産しなくてもかかる費用なので、$x=0$ のときにかかる費用です。したがって、$f(0) = c = 3$ となります。

次に、$z = 10x - f(x)$ に $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + 3$ を代入すると、

$z = 10x - (x^3 + x^2 + 2x + 3) = -x^3 - x^2 + 8x - 3$

となります。

$g(x) = -x^3 - x^2 + 8x - 3$ とおくと、$g'(x) = -3x^2 - 2x + 8$ です。

$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$-3x^2 - 2x + 8 = 0$

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

$(3x - 4)(x + 2) = 0$

$x = \frac{4}{3}, -2$

$x \geq 0$ より、$x = \frac{4}{3}$ です。

$x=0$のとき、$z=-3$

$x=\frac{4}{3}$のとき、$z = -(\frac{4}{3})^3 - (\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) - 3 = -\frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 3 = \frac{-64 - 48 + 288 - 81}{27} = \frac{95}{27} = 3.5185...$

$z$ の最大値は $\frac{95}{27}$ であり、そのときの $x$ の値は $\frac{4}{3}$ です。

次に、$h(x) = x^2 - 6x + 9$ より、$h(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ であり、$h'(x) = 2x - 6$ より、$h'(1) = 2 - 6 = -4$ です。

したがって、点 (1,4) における接線の方程式は、

$y - 4 = -4(x - 1)$

$y = -4x + 4 + 4$

$y = -4x + 8$

です。

$C_1: y = h(x)$ と $C_2: y = h(x+4)$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$h(x) = h(x+4)$

$x^2 - 6x + 9 = (x+4)^2 - 6(x+4) + 9$

$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 8x + 16 - 6x - 24 + 9$

$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 2x + 1$

$-6x + 9 = 2x + 1$

$8x = 8$

$x = 1$

したがって、$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は 1 です。

$0 \leq x \leq 1$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた図形を $D$ とします。$D$ の面積は、

$\int_0^1 (h(x) - h(x+4)) dx = \int_0^1 (x^2 - 6x + 9 - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_0^1 (-8x + 8) dx = [-4x^2 + 8x]_0^1 = -4 + 8 = 4$

3. 最終的な答え

(i) $c = 3$

(ii) $z$ の最大値は $\frac{95}{27}$ であり、そのときの $x$ の値は $x = \frac{4}{3}$

(1) $h(1) = 4$, $h'(1) = -4$, $y = -4x + 8$

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $1$、$D$ の面積は $4$