ある商店街に10軒の食品関係の商店がある。その中でパンを売っている商店は6軒、ソフトクリームを売っている商店は8軒、清涼飲料を売っている商店は9軒である。どの商店もパン、ソフトクリーム、清涼飲料のどれか1つは売っている。このとき、パンとソフトクリームの両方を売っている商店は少なくとも何軒あるか。

1. 問題の内容

ある商店街に10軒の食品関係の商店がある。その中でパンを売っている商店は6軒、ソフトクリームを売っている商店は8軒、清涼飲料を売っている商店は9軒である。どの商店もパン、ソフトクリーム、清涼飲料のどれか1つは売っている。このとき、パンとソフトクリームの両方を売っている商店は少なくとも何軒あるか。

2. 解き方の手順

全体の商店数を $N$、パンを売っている商店数を $A$、ソフトクリームを売っている商店数を $B$、清涼飲料を売っている商店数を $C$ とする。問題文より、$N=10$, $A=6$, $B=8$, $C=9$ である。

少なくとも1つを売っている商店の数は $N=10$ であり、これは $A \cup B \cup C$ の要素数と等しい。

包除原理より、

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$10 = 6 + 8 + 9 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 6 + 8 + 9 - 10 = 13$

$|A \cap B|$ の最小値を求める。$|A \cap C|$ および $|B \cap C|$ が最大になる場合を考える。

$|A \cap C| \le |A| = 6$ かつ $|A \cap C| \le |C| = 9$ なので $|A \cap C| \le 6$

$|B \cap C| \le |B| = 8$ かつ $|B \cap C| \le |C| = 9$ なので $|B \cap C| \le 8$

$|A \cap B \cap C| \ge 0$ なので、

$|A \cap B| + 6 + 8 - 0 \ge 13$

$|A \cap B| \ge 13 - 14 = -1$

$|A \cap B|$ は0以上であるから、これは意味がない。

別の考え方をする。

パンを売っている商店が6軒なので、パンを売っていない商店は4軒である。

ソフトクリームを売っている商店が8軒なので、ソフトクリームを売っていない商店は2軒である。

全体で10軒なので、パンもソフトクリームも売っていない商店は最大で2軒である。

パンまたはソフトクリームを売っている商店は少なくとも8軒である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A \cup B| \le N = 10$ であるから、$10 \ge 6 + 8 - |A \cap B|$

$|A \cap B| \ge 14 - 10 = 4$

したがって、パンとソフトクリームの両方を売っている商店は少なくとも4軒ある。

3. 最終的な答え

4 軒