ある工場で作られたジュースの容量は1800.0 mLと表示されている。このジュース400本を無作為に抽出し、ジュースの容量を計測したところ、平均は1796.7 mL、標準偏差は26.4 mLであった。この調査の結果から、ジュースの容量は表示通りではないといえるかどうかを有意水準5%で両側検定する。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

ある工場で作られたジュースの容量は1800.0 mLと表示されている。このジュース400本を無作為に抽出し、ジュースの容量を計測したところ、平均は1796.7 mL、標準偏差は26.4 mLであった。この調査の結果から、ジュースの容量は表示通りではないといえるかどうかを有意水準5%で両側検定する。

2. 解き方の手順

まず、空欄を埋めていきます。

花子：この工場で作られたジュースの容量を$X$ (mL), $X$の平均を$M$ (mL)とし、**対立仮説**を$M=1800.0$であるとする。

太郎：400は十分大きいから、標本の大きさ400の標本平均$\overline{X}$は、平均1800、標準偏差$\frac{26.4}{\sqrt{400}} = 1.32$の正規分布に近似的に従う。

よって、$Z = \frac{\overline{X} - 1800}{1.32}$とおくと、$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従うとみなせる。

花子：$M=1800.0$という仮説について両側検定するから、$\overline{X} \le 1796.7$または$\overline{X} \ge 1803.3$となる確率pの値を求める。正規分布表を利用すると、$p$の値は$p = 0.05$となり、$p \le 0.05$ が成り立つので、仮説は棄却される。よって、この標本調査の結果からジュースの容量は表示通りではないといえる。

太郎：その通りです。また、棄却域を考えることによって検定することもできます。正規分布表から$P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$であるから、有意水準5%の棄却域は$Z \le -1.96, 1.96 \le Z$となります。

$\overline{X}=1796.7$のとき$Z = \frac{1796.7 - 1800}{1.32} = -2.50$となり、この値は棄却域に含まれるから、仮説は棄却される。

よって、この標本調査の結果からジュースの容量は表示通りではないといえるという結論を得ることができる。

3. 最終的な答え

ア: 対立仮説

イ: 1800

ウ: 1.32

エ: 棄却される

オ: 表示通りではないといえる