工場Aで製造された製品Pから100個を無作為抽出し、その重さを測定した結果が表で与えられている。 (1) 標本Xの平均 $\bar{X}$ と分散 $\sigma^2$ を求める。 (2) 母平均 $m$ に対する標本平均 $\bar{X}$ が従う正規分布を求める。さらに、$Z = \frac{\bar{X} - m}{\sqrt{\sigma^2}/\sqrt{100}}$ が標準正規分布に従うことを利用する。 (3) 正規分布表を用いて、信頼度95%および98%の信頼区間を求め、それぞれの幅を比較する。

1. 問題の内容

工場Aで製造された製品Pから100個を無作為抽出し、その重さを測定した結果が表で与えられている。

(1) 標本Xの平均 $\bar{X}$ と分散 $\sigma^2$ を求める。

(2) 母平均 $m$ に対する標本平均 $\bar{X}$ が従う正規分布を求める。さらに、$Z = \frac{\bar{X} - m}{\sqrt{\sigma^2}/\sqrt{100}}$ が標準正規分布に従うことを利用する。

(3) 正規分布表を用いて、信頼度95%および98%の信頼区間を求め、それぞれの幅を比較する。

2. 解き方の手順

(1) 平均 $\bar{X}$ は、各重さと個数を掛け合わせた合計を個数で割ることで求められます。

$\bar{X} = \frac{45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1}{100} = \frac{4517}{100} = 45.17$

分散 $\sigma^2$ は、各データの二乗と個数を掛け合わせたものの合計を個数で割ったものから、平均の二乗を引くことで求められます。まず、各データの二乗を計算します。

$45.0^2 = 2025$

$45.1^2 = 2034.01$

$45.2^2 = 2043.04$

$45.3^2 = 2052.09$

$45.4^2 = 2061.16$

$45.5^2 = 2070.25$

$\sigma^2 = \frac{2025 \times 2 + 2034.01 \times 21 + 2043.04 \times 56 + 2052.09 \times 18 + 2061.16 \times 2 + 2070.25 \times 1}{100} - (45.17)^2$

$\sigma^2 = \frac{91474.6}{100} - 2040.3289 = 914.746 - 2040.3289 = 0.0171$

(2) 標本平均 $\bar{X}$ は、近似的に正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{100})$ に従います。

$\bar{X} \sim N(m, \frac{0.1771}{100}) = N(m, 0.001771)$

したがって、$\frac{\bar{X} - m}{\sqrt{0.01771}/\sqrt{100}} = \frac{\bar{X} - m}{0.0133}$ は標準正規分布に従います。

(3) $P(-k \le Z \le k) = 0.95$ を満たす $k$ は、正規分布表から $1.96$ です。

$\bar{X} = 45.17$ のとき、信頼度95%の信頼区間は、

$45.17 - 1.96 \times \frac{\sqrt{0.01771}}{10} \le m \le 45.17 + 1.96 \times \frac{\sqrt{0.01771}}{10}$

$45.17 - 1.96 \times 0.0133 \le m \le 45.17 + 1.96 \times 0.0133$

$45.17 - 0.0261 \le m \le 45.17 + 0.0261$

$45.1439 \le m \le 45.1961$

したがって、$45.14 \le m \le 45.20$

$P(-k' \le Z \le k') = 0.98$ を満たす $k'$ は、正規分布表から $2.33$ です。

信頼度98%の信頼区間の幅は、

$2 \times 2.33 \times \frac{\sqrt{0.01771}}{10} = 2 \times 2.33 \times 0.0133 = 0.0620$

信頼度95%の信頼区間の幅は、

$2 \times 1.96 \times \frac{\sqrt{0.01771}}{10} = 2 \times 1.96 \times 0.0133 = 0.0521$

信頼度98%の幅は、信頼度95%の幅の $\frac{0.0620}{0.0521} = 1.19$ 倍

3. 最終的な答え

アイウ：45.17

エオカキ：0.0171

クケコ：0.0171

サシス：1.96

セソタ：14

チッテ：20

トナ：2.33

ヌ：4