(1) 400人が当たりくじ1本と外れくじ4本の入った箱からくじを引くとき、当たりくじを引いた人の人数をXとする。Xの平均と分散、およびXが90人以上となる確率、68人以上94人以下となる確率を求める。 (2) 箱に当たりくじ1本と外れくじm本を加え、n人が同様にくじを引くとき、当たりくじを引いた人の人数Yの平均が90、分散が75となるようなm, nを求め、Yが105人以下となる確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 400人が当たりくじ1本と外れくじ4本の入った箱からくじを引くとき、当たりくじを引いた人の人数をXとする。Xの平均と分散、およびXが90人以上となる確率、68人以上94人以下となる確率を求める。

(2) 箱に当たりくじ1本と外れくじm本を加え、n人が同様にくじを引くとき、当たりくじを引いた人の人数Yの平均が90、分散が75となるようなm, nを求め、Yが105人以下となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Xは二項分布に従う。平均は$E(X) = np = 400 * (1/5) = 80$。分散は$V(X) = np(1-p) = 400 * (1/5) * (4/5) = 64$。よって、アイ=80、ウエ=64。

* 確率変数Zは $Z = \frac{X - 80}{\sqrt{64}} = \frac{X - 80}{8}$。

* $P(X \geq 90) = P(Z \geq \frac{90 - 80}{8}) = P(Z \geq 1.25)$。正規分布表より、$P(Z \geq 1.25) = 0.1056$。よって、クケコ=1.25、サシスセ=0.1056。

* $P(68 \leq X \leq 94) = P(\frac{68-80}{8} \leq Z \leq \frac{94-80}{8}) = P(-1.5 \leq Z \leq 1.75)$。正規分布表より、$P(-1.5 \leq Z \leq 1.75) = P(Z \leq 1.75) - P(Z \leq -1.5) = P(Z \leq 1.75) - (1-P(Z \leq 1.5))= 0.9599 - (1-0.9332) = 0.9599 - 0.0668 = 0.8931$。よって、ソタ= -1.5、チツ=1.75、デ=0.8931。

(2)

* 新しい箱には当たりくじ2本と外れくじm本が入っているので、くじを引く確率は$p = \frac{2}{2+m}$。

* $E(Y) = np = n * \frac{2}{2+m} = 90$、 $V(Y) = np(1-p) = n * \frac{2}{2+m} * (1-\frac{2}{2+m}) = n * \frac{2}{2+m} * \frac{m}{2+m} = 75$。

* $90 * \frac{m}{2+m} = 75$より、$\frac{m}{2+m} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}$。よって、$6m = 5(2+m)$、$6m = 10 + 5m$、$m = 10$。

* $n * \frac{2}{2+10} = 90$より、$n * \frac{2}{12} = 90$、$n * \frac{1}{6} = 90$、$n = 540$。よって、八=10、ヒフへ=540。

* $P(Y \leq 105) = P(Z \leq \frac{105 - 90}{\sqrt{75}}) = P(Z \leq \frac{15}{5\sqrt{3}}) = P(Z \leq \frac{3}{\sqrt{3}}) = P(Z \leq \sqrt{3}) = P(Z \leq 1.73) = 0.9582$。よって、ホマミム=0.9582

3. 最終的な答え

(1)

アイ = 80

ウエ = 64

クケコ = 1.25

サシスセ = 0.1056

ソタ = -1.5

チツ = 1.75

デ = 0.8931

(2)

八 = 10

ヒフへ = 540

ホマミム = 0.9582