与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開することを考えます。しかし、全ての項を展開するのは大変なので、$x$ の係数だけを求めることを意識します。

$x$ の係数は、定数項の積の和として求められます。つまり、$x$ の係数は各因数から定数項を選んで掛け合わせたものの和となります。

各因数 $(x+1), (x+2), (x+3), (x+4), (x+5)$ から定数項を選ぶと、それぞれの定数項は $1, 2, 3, 4, 5$ となります。

$x$ の係数を求めるには、これらの定数項のうち4つを選び、その積の和を求めればよいです。つまり、次のような和を計算します。

$2*3*4*5 + 1*3*4*5 + 1*2*4*5 + 1*2*3*5 + 1*2*3*4$

それぞれの項を計算すると、

$120 + 60 + 40 + 30 + 24$

これらの和は $120 + 60 + 40 + 30 + 24 = 274$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、$x$ の係数は $274$ です。