$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したとき、$x^4$ の係数を求めます。

はい、承知いたしました。問題１を解きます。

1. 問題の内容

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したとき、$x^4$ の係数を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式は5次式です。展開した結果の一般形は次のようになります。

$x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

$x^4$ の係数 $a$ は、展開したときに $x$ が4つ選ばれるような項の和になります。つまり、$1, 2, 3, 4, 5$ の中から一つだけ選ばれない数字の和が $a$ となります。

したがって、

$a = (1+2+3+4+5) - 1 + (1+2+3+4+5) - 2 + (1+2+3+4+5) - 3 + (1+2+3+4+5) - 4 + (1+2+3+4+5) - 5$

$a = (2+3+4+5) + (1+3+4+5) + (1+2+4+5) + (1+2+3+5) + (1+2+3+4)$

$1+2+3+4+5 = 15$なので、

$a = 15 - 1 + 15 - 2 + 15 - 3 + 15 - 4 + 15 - 5$

$a = 5 \times 15 - (1+2+3+4+5)$

$a = 75 - 15 = 60$

3. 最終的な答え

$x^4$ の係数は60です。