この問題は、整式の展開と因数分解に関する5つの小問から構成されています。 * 問題1: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの、$x^4$ の係数を求める。 * 問題2: $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2$ を展開する。 * 問題3: $(x^2-6x+2)(x^2-6x-1)-54$ を因数分解する。 * 問題4: $x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解する。 * 問題5: $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、各問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

この問題は、整式の展開と因数分解に関する5つの小問から構成されています。

* 問題1: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの、$x^4$ の係数を求める。

* 問題2: $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2$ を展開する。

* 問題3: $(x^2-6x+2)(x^2-6x-1)-54$ を因数分解する。

* 問題4: $x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解する。

* 問題5: $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

* **問題1**

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開して $x^4$ の係数を求める。

$x^4$ の項は、5つの因子のうち 4 つから $x$ を選び、残りの 1 つから定数を選ぶことで得られます。

したがって、$x^4$ の係数は、$1+2+3+4+5 = 15$となります。

* **問題2**

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2$ を展開する。

まず、各項を展開します。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$

$(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$

$(a-b+c)^2 = (a-b+c)(a-b+c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

これらの式を元の式に代入して整理すると、

$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc) = a^2 + b^2 + c^2$

* **問題3**

$(x^2-6x+2)(x^2-6x-1)-54$ を因数分解する。

$A = x^2 - 6x$ とおくと、与式は $(A+2)(A-1) - 54 = A^2 + A - 2 - 54 = A^2 + A - 56$ となります。

これを因数分解すると、 $(A+8)(A-7)$ となります。

$A$ を $x^2 - 6x$ に戻すと、 $(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 6x - 7)$ となります。

さらに因数分解すると、$(x-2)(x-4)(x+1)(x-7)$ となります。

* **問題4**

$x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解する。

$A = x^2$ とおくと、 $A^2 - 3A - 4$ となります。

これを因数分解すると、 $(A-4)(A+1)$ となります。

$A$ を $x^2$ に戻すと、 $(x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

さらに因数分解すると、 $(x-2)(x+2)(x^2+1)$ となります。

* **問題5**

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する。

式を展開すると、$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$ となります。

これを整理すると、$- (a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

または、$(a-b)(b-c)(a-c)$と表すこともできます。

3. 最終的な答え

* 問題1: $15$

* 問題2: $a^2 + b^2 + c^2$

* 問題3: $(x-2)(x-4)(x+1)(x-7)$

* 問題4: $(x-2)(x+2)(x^2+1)$

* 問題5: $-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(b-c)(a-c)$