与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、この式を $a$ について整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (b^2 - c^2)a + (c^2 - a^2)b + (a^2 - b^2)c$

$= (b^2 - c^2)a - (a^2 - c^2)b + (a^2 - b^2)c$

$= ab^2 - ac^2 - a^2b + bc^2 + a^2c - b^2c$

次に、$a$について降べきの順に整理します。

$-ba^2 + ca^2 + ab^2 - cb^2 - ac^2 + bc^2 = (c-b)a^2 + (b^2-c^2)a + bc^2-b^2c$

$a$について整理すると、

$(c-b)a^2 + (b^2-c^2)a + bc(c-b) = (c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc(c-b)$

$(c-b)a^2 - (c-b)(b+c)a + bc(c-b) = (c-b)[a^2 - (b+c)a + bc]$

$(c-b)[a^2 - (b+c)a + bc] = (c-b)(a-b)(a-c)$

符号を調整して、

$-(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$