2次関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を、 $a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を、 $a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x-a)^2 - a^2$

このグラフは、軸が $x=a$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 1$ であるため、軸 $x=a$ の位置によって最小値をとる $x$ の値が変わります。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の左側にあるので、 $x=0$ で最小値をとります。

$y = 0^2 - 2a(0) = 0$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき

軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ に含まれるので、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $-a^2$ (問題文に記載済み)

(3) $1 < a$ のとき

軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の右側にあるので、$x=1$ で最小値をとります。

$y = 1^2 - 2a(1) = 1 - 2a = -2a + 1$

したがって、$a$ の範囲によって場合分けすると

$a < 0$ のとき、最小値は $0$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $-a^2$

$1 < a$ のとき、最小値は $-2a + 1$

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 0

ウ: 1

エオ: -2

カ: 1