全体集合$U = \{x | 1 \leq x \leq 10, xは整数\}$、部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$、$B = \{3, 4, 5, 6\}$、$C = \{2, 3, 6, 7\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。 (2) $A \cup B \cup C$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ (5) $\overline{A \cap B \cap C}$ (6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | 1 \leq x \leq 10, xは整数\}$、部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$、$B = \{3, 4, 5, 6\}$、$C = \{2, 3, 6, 7\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(2) $A \cup B \cup C$ を求める。これはA, B, Cの要素をすべて合わせた集合である。重複する要素は一度だけ書く。

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$ を求める。まず$\overline{C}$を求める。$\overline{C}$はUの中でCに含まれない要素の集合である。

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

次に$A \cap B$を求める。

$A \cap B = \{3, 4\}$

最後に$(A \cap B) \cap \overline{C}$を求める。

$A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$ を求める。

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 9, 10\}$

$B \cap \overline{C}$を求める。

$B \cap \overline{C} = \{4, 5\}$

最後に$\overline{A} \cap (B \cap \overline{C})$を求める。

$\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$ を求める。まず$A \cap B \cap C$を求める。

$A \cap B \cap C = \{3\}$

次に$\overline{A \cap B \cap C}$を求める。これはUの中で$A \cap B \cap C$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cap B \cap C} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$を求める。まず$A \cup C$を求める。

$A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}$

次に$\overline{B}$を求める。

$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

最後に$(A \cup C) \cap \overline{B}$を求める。

$(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $\overline{A} \cap B \cap \overline{C} = \{5\}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B} = \{1, 2, 7, 8\}$