図7は、直線 $m$ と $n$ が原点を通るグラフを表している。直線 $l$ と $n$ の交点をBとする。3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形は $\triangle OAB$ である。 (i) $x$軸を回転軸として、$\triangle OAB$ を1回転させてできる立体の体積を求めよ。 (ii) $a = a_0$ のとき、3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形の面積が、$\triangle OAB$ の面積と等しくなるような $b$ の値は2つある。一方は $b = b_0$ であるが、$b_0$ でない方の $b$ の値を求めよ。 (iii) $b = b_0$ のとき、3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形の面積が、$\triangle OAB$ の面積と等しくなるような $a$ の値は2つある。一方は $a = a_0$ であるが、$a_0$ でない方の $a$ の値を求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

図7は、直線 $m$ と $n$ が原点を通るグラフを表している。直線 $l$ と $n$ の交点をBとする。3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形は $\triangle OAB$ である。

(i) $x$軸を回転軸として、$\triangle OAB$ を1回転させてできる立体の体積を求めよ。

(ii) $a = a_0$ のとき、3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形の面積が、$\triangle OAB$ の面積と等しくなるような $b$ の値は2つある。一方は $b = b_0$ であるが、$b_0$ でない方の $b$ の値を求めよ。

(iii) $b = b_0$ のとき、3直線 $l$, $m$, $n$ に囲まれた三角形の面積が、$\triangle OAB$ の面積と等しくなるような $a$ の値は2つある。一方は $a = a_0$ であるが、$a_0$ でない方の $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題文および図から、以下のことが読み取れる。

* 直線 $m$ の傾きは $a$

* 直線 $n$ の傾きは $b$

(i) 問題文に具体的な数値がないため、立体の体積は求められない。$\triangle OAB$ の頂点の座標が具体的に与えられていないため、回転体の体積も具体的に計算できない。問題設定が不十分である。

(ii) $\triangle OAB$の面積と等しくなるような $b$ の値を求める問題。$a = a_0$ が固定されている。

$a_0$のとき、直線$m$は固定。直線$l$も固定されているため、直線$n$（$b$）を変化させることで$\triangle OAB$の面積を変化させられる。この面積が元の$\triangle OAB$と等しくなる$b$の値を求める。$b=b_0$であるときは既に$\triangle OAB$ができているので、$b_0$でない$b$の値を求める。

具体的な面積の計算や $a_0$, $b_0$ の値がないため、具体的な解を求めることはできない。

$\triangle OAB$の面積を固定し、直線$n$を変化させることで、もう一つの$b$の値を求めるという方針になる。

(iii) $\triangle OAB$の面積と等しくなるような $a$ の値を求める問題。$b = b_0$ が固定されている。

(ii)と同様に、$b_0$のとき直線$n$は固定。直線$l$も固定されているため、直線$m$（$a$）を変化させることで$\triangle OAB$の面積を変化させられる。この面積が元の$\triangle OAB$と等しくなる$a$の値を求める。$a=a_0$であるときは既に$\triangle OAB$ができているので、$a_0$でない$a$の値を求める。

具体的な面積の計算や $a_0$, $b_0$ の値がないため、具体的な解を求めることはできない。

$\triangle OAB$の面積を固定し、直線$m$を変化させることで、もう一つの$a$の値を求めるという方針になる。

3. 最終的な答え

(i) 問題設定が不十分のため、立体の体積を求めることはできない。

(ii) 具体的な数値がないため、$b_0$ でない $b$ の値を求めることはできない。

(iii) 具体的な数値がないため、$a_0$ でない $a$ の値を求めることはできない。