2点A(3, 2), B(0, 4)と円C: $x^2 + y^2 = 4$がある。点Qが円C上を動くとき、三角形ABQの重心Pの軌跡を求めよ。ただし、重心Pの座標を(X, Y)、点Qの座標を(s, t)とする。

1. 問題の内容

2点A(3, 2), B(0, 4)と円C: $x^2 + y^2 = 4$がある。点Qが円C上を動くとき、三角形ABQの重心Pの軌跡を求めよ。ただし、重心Pの座標を(X, Y)、点Qの座標を(s, t)とする。

2. 解き方の手順

まず、重心Pの座標(X, Y)をA(3, 2), B(0, 4), Q(s, t)を用いて表す。

$X = \frac{3 + 0 + s}{3} = \frac{s+3}{3}$

$Y = \frac{2 + 4 + t}{3} = \frac{t+6}{3}$

これより、sとtをX, Yで表す。

$s = 3X - 3$

$t = 3Y - 6$

点Q(s, t)は円 $x^2 + y^2 = 4$上にあるので、$s^2 + t^2 = 4$を満たす。

ここに、上で求めたsとtの式を代入する。

$(3X - 3)^2 + (3Y - 6)^2 = 4$

$9(X - 1)^2 + 9(Y - 2)^2 = 4$

$(X - 1)^2 + (Y - 2)^2 = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

したがって、点Pの軌跡は円 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{4}{9}$である。