与えられた式 $(x+2)^2(x-2)^2$ を展開して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2)^2(x-2)^2$ を展開して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+2)^2$ と $(x-2)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x+2)^2(x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4)$

ここで、$A = x^2 + 4$ とおくと、$x^2 + 4x + 4 = A + 4x$ と $x^2 - 4x + 4 = A - 4x$ と表せるので、

$(A + 4x)(A - 4x) = A^2 - (4x)^2 = (x^2 + 4)^2 - 16x^2$

$(x^2 + 4)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(4) + 4^2 = x^4 + 8x^2 + 16$

したがって、

$(x^4 + 8x^2 + 16) - 16x^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

これは、$(x^2 - 4)^2$ とも表せます。

3. 最終的な答え

$x^4 - 8x^2 + 16$

または

$(x^2 - 4)^2$