不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を解きます。

$4x + 1 < 3(x+a)$

$4x + 1 < 3x + 3a$

$4x - 3x < 3a - 1$

$x < 3a - 1$

この不等式を満たす最大の整数が5であるということは、次の不等式が成り立つことを意味します。

$5 < 3a - 1 \le 6$

この不等式を解いて、$a$ の範囲を求めます。

まず、$5 < 3a - 1$ を解くと、

$6 < 3a$

$2 < a$

$a > 2$

次に、$3a - 1 \le 6$ を解くと、

$3a \le 7$

$a \le \frac{7}{3}$

したがって、 $a$ の範囲は $2 < a \le \frac{7}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$2 < a \le \frac{7}{3}$