与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、(1)から(5)と(8)から(12)までの積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、(1)から(5)と(8)から(12)までの積分を計算します。

2. 解き方の手順

各定積分について、以下の手順で計算します。

1. 積分する関数を不定積分します。

2. 不定積分の結果に積分区間の上限と下限を代入します。

3. 上限を代入した値から下限を代入した値を引きます。

各問題における詳細な計算は以下の通りです。

(1) $\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx$

不定積分: $\int (x^2 - 2x + 2) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x + C$

定積分: $[\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x]_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} + 1 - 2 + 4 - 4 = \frac{7}{3} -1 = \frac{4}{3}$

(2) $\int_{2}^{3} (x^2 + 3x - 2) dx$

不定積分: $\int (x^2 + 3x - 2) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

定積分: $[\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x]_2^3 = (\frac{27}{3} + \frac{27}{2} - 6) - (\frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 4) = 9 + \frac{27}{2} - 6 - \frac{8}{3} - 6 + 4 = -12 + 9 + 4 + \frac{27}{2} - \frac{8}{3} = 1 + \frac{81-16}{6} = -3 + \frac{65}{6} = \frac{65+6}{6}= \frac{41}{6}$

(3) $\int_{1}^{4} (3x^2 - 2) dx$

不定積分: $\int (3x^2 - 2) dx = x^3 - 2x + C$

定積分: $[x^3 - 2x]_1^4 = (64 - 8) - (1 - 2) = 56 - (-1) = 57$

(4) $\int_{-2}^{3} (x^2 + 4x + 1) dx$

不定積分: $\int (x^2 + 4x + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$

定積分: $[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x]_{-2}^3 = (\frac{27}{3} + 18 + 3) - (\frac{-8}{3} + 8 - 2) = 9 + 18 + 3 + \frac{8}{3} - 8 + 2 = 24+2 + \frac{8}{3}-8 = 26 - 8 + \frac{8}{3}= 18 + \frac{8}{3} = \frac{54+8}{3}= \frac{62}{3}$

(5) $\int_{1}^{2} (2x^3 + x + 1) dx$

不定積分: $\int (2x^3 + x + 1) dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + x + C$

定積分: $[\frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + x]_1^2 = (\frac{16}{2} + \frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1) = 8 + 2 + 2 - 1 - 1 - 1 = 12 - 2 - 1+1-1 = 10$

(8) $\int_{-1}^{1} (x + 100) dx$

不定積分：$\int (x+100) dx = \frac{1}{2}x^2 + 100x + C$

定積分：$[\frac{1}{2}x^2 + 100x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{2} + 100) - (\frac{1}{2} - 100) = 100+100=200$

(9) $\int_{1}^{2} (x^2 + x - 3) dx$

不定積分：$\int (x^2+x-3) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x + C$

定積分：$[\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 3) = (\frac{8}{3}+2-6)-(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-3)= \frac{7}{3}+4 - 6 + 3 - \frac{1}{2}=\frac{7}{3} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{14+6-3}{6}= \frac{17}{6}$

(10) $\int_{0}^{1} (2x^2 - x - 1) dx$

不定積分：$\int (2x^2-x-1) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{-1}{2}x^2 - x + C$

定積分：$[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x]_{0}^{1} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1) - (0) = \frac{4-3-6}{6}=-\frac{5}{6}$

(11) $\int_{-5}^{-3} (x^2 + 1) dx$

不定積分：$\int (x^2+1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x + C$

定積分：$[\frac{1}{3}x^3+x]_{-5}^{-3} = (\frac{-27}{3}-3) - (\frac{-125}{3} - 5)=(-9-3)-(\frac{-125}{3}-5)= -12 + \frac{125}{3} + 5 = -7 + \frac{125}{3} = \frac{-21+125}{3}= \frac{104}{3}$

(12) $\int_{0}^{2} (x^2 + 2x - 5) dx$

不定積分：$\int (x^2 + 2x - 5) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 5x + C$

定積分：$[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 5x]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} + 4 - 10)-(0)=\frac{8}{3} - 6=\frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{41}{6}$

(3) $57$

(4) $\frac{62}{3}$

(5) $10$

(8) $200$

(9) $\frac{17}{6}$

(10) $-\frac{5}{6}$

(11) $\frac{104}{3}$

(12) $-\frac{10}{3}$