$A$を2x2行列とし、4x4行列$\tilde{A}$を $\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$ と定義する。ただし、$I_2$は2x2の単位行列、$0_{2x2}$は2x2のゼロ行列である。 (i) $(\tilde{A})^n$ (n: 自然数)を求めよ。 (ii) $\tilde{A}B = I_4$ を満たす4x4行列$B$を求めよ。ただし、$B = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix}$ (X, Y, Z, W: 2x2行列)とおく。

1. 問題の内容

$A$を2x2行列とし、4x4行列$\tilde{A}$を

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

と定義する。ただし、$I_2$は2x2の単位行列、$0_{2x2}$は2x2のゼロ行列である。

(i) $(\tilde{A})^n$ (n: 自然数)を求めよ。

(ii) $\tilde{A}B = I_4$ を満たす4x4行列$B$を求めよ。ただし、$B = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix}$ (X, Y, Z, W: 2x2行列)とおく。

2. 解き方の手順

(i) まず、$(\tilde{A})^2$ を計算する。

$(\tilde{A})^2 = \begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & A+A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & 2A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

同様に、$(\tilde{A})^3 = (\tilde{A})^2\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_2 & 2A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & 3A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

帰納的に、$(\tilde{A})^n = \begin{bmatrix} I_2 & nA \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$ が成り立つと予想できる。

これを数学的帰納法で示す。

$n=1$のとき、$(\tilde{A})^1 = \begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$ なので成り立つ。

$n=k$のとき、$(\tilde{A})^k = \begin{bmatrix} I_2 & kA \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき、$(\tilde{A})^{k+1} = (\tilde{A})^k\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_2 & kA \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & kA+A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & (k+1)A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

よって、$n=k+1$のときも成り立つ。

したがって、$(\tilde{A})^n = \begin{bmatrix} I_2 & nA \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

(ii) $\tilde{A}B = I_4$

$\begin{bmatrix} I_2 & A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & 0_{2x2} \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} X+AZ & Y+AW \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 & 0_{2x2} \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

したがって、$X+AZ = I_2$, $Y+AW = 0_{2x2}$, $Z = 0_{2x2}$, $W = I_2$

$Z = 0_{2x2}$ を $X+AZ = I_2$ に代入すると、$X = I_2$

$W = I_2$ を $Y+AW = 0_{2x2}$ に代入すると、$Y+A = 0_{2x2}$ より、$Y = -A$

よって、$B = \begin{bmatrix} I_2 & -A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $(\tilde{A})^n = \begin{bmatrix} I_2 & nA \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$

(ii) $B = \begin{bmatrix} I_2 & -A \\ 0_{2x2} & I_2 \end{bmatrix}$