与えられた式 $(t+2)^3(t-2)^3$ を簡略化しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $(t+2)^3(t-2)^3$ を簡略化しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた式を簡略化するために、以下の手順に従います。

* まず、指数法則 $(ab)^n = a^n b^n$ を逆に利用します。つまり、$a^n b^n = (ab)^n$です。この法則を適用すると、与えられた式は次のように書き換えることができます。

$(t+2)^3(t-2)^3 = [(t+2)(t-2)]^3$

* 次に、$(t+2)(t-2)$ を展開します。これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ に対応しています。したがって、

$(t+2)(t-2) = t^2 - 2^2 = t^2 - 4$

* この結果を元の式に代入すると、次のようになります。

$[(t+2)(t-2)]^3 = (t^2 - 4)^3$

* 最後に、$(t^2 - 4)^3$ を展開します。これは二項定理を使うか、$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を使用できます。ここでは後者を用います。$a = t^2$ および $b = 4$ を代入すると、

$(t^2 - 4)^3 = (t^2)^3 - 3(t^2)^2(4) + 3(t^2)(4)^2 - (4)^3$

$= t^6 - 12t^4 + 48t^2 - 64$

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。

$t^6 - 12t^4 + 48t^2 - 64$