(1) $6x^2 - 7x + 2$ を因数分解する。 (2) 2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ を解く。 (3) $x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、 (1) $x+y$ の値を求める。 (2) $x^2+y^2$ の値を求める。 (3) $x^4-y^4$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $6x^2 - 7x + 2$ を因数分解する。

(2) 2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ を解く。

(3) $x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、

(1) $x+y$ の値を求める。

(2) $x^2+y^2$ の値を求める。

(3) $x^4-y^4$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 7x + 2$ の因数分解

$6x^2 - 7x + 2 = (2x-1)(3x-2)$

(2) $x^2 - 5x + 3 = 0$ の解

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使用する。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25-12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(3)

(1) $x+y$ の値を求める。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2+y^2$ の値を求める。

$x^2 = (\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{4} = 2 - \frac{\sqrt{15}}{2}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{15}}{2}$

$x^2+y^2 = (2 - \frac{\sqrt{15}}{2}) + (2 + \frac{\sqrt{15}}{2}) = 4$

(3) $x^4-y^4$ の値を求める。

$x^4 - y^4 = (x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

$x+y = \sqrt{5}$ (すでに計算済み)

$x-y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

$x^4 - y^4 = (4)(\sqrt{5})(-\sqrt{3}) = -4\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $(2x-1)(3x-2)$

(2) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(3)

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $x^2+y^2 = 4$

(3) $x^4-y^4 = -4\sqrt{15}$