次の方程式を解く問題です。 $\log_2(x+2) = \log_2(x^2 - 3x - 10)$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

$\log_2(x+2) = \log_2(x^2 - 3x - 10)$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質から、真数部分が等しくなることを利用します。

$x+2 = x^2 - 3x - 10$

次に、この二次方程式を解きます。

$x^2 - 3x - 10 - x - 2 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

因数分解をします。

$(x-6)(x+2) = 0$

したがって、$x=6$ または $x=-2$ となります。

次に、解が元の対数関数の真数条件を満たすかどうかを確認します。真数条件は、対数の中身が正である必要があります。

$x+2 > 0$ かつ $x^2 - 3x - 10 > 0$

$x > -2$ かつ $(x-5)(x+2) > 0$

$(x-5)(x+2) > 0$ の解は、$x < -2$ または $x > 5$ です。

$x > -2$ と $x < -2$ または $x > 5$ の共通範囲は $x > 5$ です。

$x = 6$ は $x > 5$ を満たしますが、$x=-2$ は $x > 5$ を満たしません。

したがって、$x = 6$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

$x=6$