与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分子の $x^2 + x - 2$ を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

したがって、

$\frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2$ (ただし、$x \neq 1$)

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 1 + 2 = 3$

(2)

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$ は不定形($\frac{0}{0}$)なので、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} = \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{(x+2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2}$ (ただし、$x \neq 2$)

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1/4