極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x-2} = 5$ を満たす実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x-2} = 5$ を満たす実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x-2}$ が有限な値を持つためには、$x=2$ を代入したときに分子が0になる必要があります。つまり、

$2^2 + 2a + b = 0$

$4 + 2a + b = 0$

$b = -2a - 4$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 2a - 4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4 + a(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2) + a(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2+a)}{x-2}$

ここで $x \neq 2$ であるから、$x-2$ で約分できて、

$\lim_{x \to 2} (x+2+a) = 2 + 2 + a = 4 + a$

この極限値が5なので、

$4 + a = 5$

$a = 1$

$b = -2a - 4$ に $a=1$ を代入すると、

$b = -2(1) - 4 = -6$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -6$