$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ である。 (1) $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求めよ。 (2) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。 (3) $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ である。

(1) $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求めよ。

(2) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。

(3) $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を計算する。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ なので、$\sin\theta - \cos\theta > 0$ である。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $(\sin\theta + \cos\theta)^2$ を計算する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2(-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ である。

また、$\sin\theta > |\cos\theta|$ なので、$\sin\theta + \cos\theta > 0$ である。

したがって、$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$ と $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を連立方程式として解く。

2つの式を足すと、

$2\sin\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

2つの式を引くと、

$-2\cos\theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$