与えられた3つの関数の逆関数を求め、さらに、それぞれの逆関数の定義域と値域を求めます。 (1) $y = \frac{x-2}{x}$ (2) $y = \frac{x+1}{x-1}$ (3) $y = x^2 - 1$ (ただし、$x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の逆関数を求め、さらに、それぞれの逆関数の定義域と値域を求めます。

(1) $y = \frac{x-2}{x}$

(2) $y = \frac{x+1}{x-1}$

(3) $y = x^2 - 1$ (ただし、$x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x-2}{x}$ の場合：

まず、$y$ について解きます。

$y = \frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$

$y - 1 = -\frac{2}{x}$

$x(y-1) = -2$

$x = \frac{-2}{y-1} = \frac{2}{1-y}$

逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = \frac{2}{1-x}$

元の関数の定義域は $x \neq 0$ であり、値域は $y \neq 1$ です。

したがって、逆関数の定義域は $x \neq 1$ であり、値域は $y \neq 0$ です。

(2) $y = \frac{x+1}{x-1}$ の場合：

まず、$y$ について解きます。

$y(x-1) = x+1$

$yx - y = x+1$

$yx - x = y+1$

$x(y-1) = y+1$

$x = \frac{y+1}{y-1}$

逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = \frac{x+1}{x-1}$

元の関数の定義域は $x \neq 1$ であり、値域は $y \neq 1$ です。

したがって、逆関数の定義域は $x \neq 1$ であり、値域は $y \neq 1$ です。

逆関数は元の関数と同じになります。

(3) $y = x^2 - 1$ (ただし、$x \le 0$) の場合：

まず、$x$ について解きます。

$x^2 = y+1$

$x = \pm\sqrt{y+1}$

条件 $x \le 0$ より、$x = -\sqrt{y+1}$

逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = -\sqrt{x+1}$

元の関数の定義域は $x \le 0$ であり、値域は $y \ge -1$ です。

したがって、逆関数の定義域は $x \ge -1$ であり、値域は $y \le 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) 逆関数: $y = \frac{2}{1-x}$

定義域: $x \neq 1$

値域: $y \neq 0$

(2) 逆関数: $y = \frac{x+1}{x-1}$

定義域: $x \neq 1$

値域: $y \neq 1$

(3) 逆関数: $y = -\sqrt{x+1}$

定義域: $x \ge -1$

値域: $y \le 0$