ABを直径とする円Oの周上に2点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$、BD = CDであるとき、$\angle ACD$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

ABを直径とする円Oの周上に2点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$、BD = CDであるとき、$\angle ACD$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、BD=CDなので、弧BDと弧CDの長さは等しく、円周角も等しい。したがって、$\angle BAD = \angle CAD$となります。

また、ABは直径なので、$\angle ACB = 90^\circ$です。

$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$です。

したがって、$\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 50^\circ = 25^\circ$です。

$\angle ABD = 90^\circ$ (ABは直径なので)です。

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (25^\circ + 90^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

$\angle ACD = \angle ABD$ (同じ弧ADに対する円周角は等しい)

よって、$\angle ACD = 40^\circ$ となる。

別解として、$\angle ADC= 90^{\circ}$　BD=CDより $\angle CAD=\angle BAD=x$とすると、$\angle BAC=2x$となり、三角形ABCにおいて$\angle BAC+\angle ABC=90^{\circ}$より$2x+40^{\circ}=90^{\circ}$なので$2x=50^{\circ}$より$x=25^{\circ}$である。よって$\angle BAD=25^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\angle ACD = 25^\circ$