放物線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = x - 3$ の距離が最小となるのは、放物線上の点Pにおける接線が直線 $y = x - 3$ と平行になるときである。

点Pの座標を $(t, t^2 - 1)$ とする。

$y = x^2 - 1$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x$

点Pにおける接線の傾きは、$2t$ となる。

この接線が直線 $y = x - 3$ と平行であるから、

$2t = 1$

$t = \frac{1}{2}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2 - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ である。

直線 $y = x - 3$ 上の点Qの座標を $(s, s - 3)$ とする。

PQ間の距離の2乗は

$d^2 = (s - \frac{1}{2})^2 + (s - 3 + \frac{3}{4})^2 = (s - \frac{1}{2})^2 + (s - \frac{9}{4})^2$

$d^2 = s^2 - s + \frac{1}{4} + s^2 - \frac{9}{2} s + \frac{81}{16}$

$d^2 = 2s^2 - \frac{11}{2} s + \frac{85}{16}$

$d^2$ を最小にする $s$ を求めるために、$s$ で微分する。

$\frac{d(d^2)}{ds} = 4s - \frac{11}{2}$

$\frac{d(d^2)}{ds} = 0$ となる $s$ は $4s = \frac{11}{2}$ より $s = \frac{11}{8}$

点Qの座標は $(\frac{11}{8}, \frac{11}{8} - 3) = (\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$

最小距離は点Pと直線 $y = x - 3$ の距離に等しい。

点 $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ と直線 $x - y - 3 = 0$ の距離は

$\frac{|\frac{1}{2} - (-\frac{3}{4}) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{2 + 3 - 12}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{7}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

点Qの座標: $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$

距離: $\frac{7\sqrt{2}}{8}$