次の式を計算せよ。 $2(\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{5}{4}y + \frac{2}{3}x)$

1. 問題の内容

次の式を計算せよ。

$2(\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{5}{4}y + \frac{2}{3}x)$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を展開する。

$(\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{5}{4}y + \frac{2}{3}x) = (\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{2}{3}x + \frac{5}{4}y)$

これは、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$の形を利用できる。

ここで、$a = \frac{2}{3}x$、$b = \frac{5}{4}y$とすると、

$(\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{2}{3}x + \frac{5}{4}y) = (\frac{2}{3}x)^2 - (\frac{5}{4}y)^2 = \frac{4}{9}x^2 - \frac{25}{16}y^2$

したがって、

$2(\frac{2}{3}x - \frac{5}{4}y)(\frac{5}{4}y + \frac{2}{3}x) = 2(\frac{4}{9}x^2 - \frac{25}{16}y^2) = \frac{8}{9}x^2 - \frac{25}{8}y^2$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{9}x^2 - \frac{25}{8}y^2$