命題 $p \implies q$ の真偽を、集合を用いて調べる問題です。具体的には、以下の３つの場合について、条件 $p$ と $q$ が与えられています。 (1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \le 2$、$q: x \le 4$ (2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は12の正の約数、$q: m$ は24の正の約数 (3) 実数 $x$ に関する条件 $p: -1 < x < 1$、$q: x > 0$

1. 問題の内容

命題 $p \implies q$ の真偽を、集合を用いて調べる問題です。具体的には、以下の３つの場合について、条件 $p$ と $q$ が与えられています。

(1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \le 2$、$q: x \le 4$

(2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は12の正の約数、$q: m$ は24の正の約数

(3) 実数 $x$ に関する条件 $p: -1 < x < 1$、$q: x > 0$

2. 解き方の手順

命題 $p \implies q$ が真であるとは、$p$ を満たす全ての要素が $q$ を満たすことを意味します。 集合を用いて考えると、$p$ を満たす要素全体の集合を $P$、$q$ を満たす要素全体の集合を $Q$ とするとき、$P \subset Q$ ならば命題 $p \implies q$ は真、$P \not\subset Q$ ならば命題 $p \implies q$ は偽となります。

(1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \le 2$、$q: x \le 4$

集合 $P$ は $x \le 2$ を満たす実数全体の集合、集合 $Q$ は $x \le 4$ を満たす実数全体の集合です。明らかに $P \subset Q$ なので、命題 $p \implies q$ は真です。

(2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は12の正の約数、$q: m$ は24の正の約数

12の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。

24の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 です。

$P = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$、$Q = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ とすると、$P \subset Q$ なので、命題 $p \implies q$ は真です。

(3) 実数 $x$ に関する条件 $p: -1 < x < 1$、$q: x > 0$

集合 $P$ は $-1 < x < 1$ を満たす実数全体の集合、集合 $Q$ は $x > 0$ を満たす実数全体の集合です。

例えば $x = -0.5$ は $-1 < x < 1$ を満たしますが、$x > 0$ を満たしません。

したがって、$P \not\subset Q$ なので、命題 $p \implies q$ は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 偽