与えられた4つの微分方程式の種類を答える問題です。微分方程式は以下の通りです。 (1) $y'' + 2xy' + y = 0$ (2) $y'' - \frac{1}{x}y' + y = 3x + \cos x$ (3) $y'' + xy' + (2x + 1)y = 3y$ (4) $y''' + xy' - y \sin x = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの微分方程式の種類を答える問題です。微分方程式は以下の通りです。

(1) $y'' + 2xy' + y = 0$

(2) $y'' - \frac{1}{x}y' + y = 3x + \cos x$

(3) $y'' + xy' + (2x + 1)y = 3y$

(4) $y''' + xy' - y \sin x = 0$

2. 解き方の手順

各微分方程式について、以下の点に着目して種類を判断します。

- 最高階の導関数の次数

- 係数の種類（定数か変数か）

- 線形か非線形か

- 同次か非同次か

(1) $y'' + 2xy' + y = 0$

最高階の導関数は$y''$で、2階です。係数は$2x$のように変数を含んでいるので、変数係数です。また、$y''$, $y'$, $y$について線形であり、右辺が0なので同次です。よって、2階線形同次微分方程式（変数係数）となります。

(2) $y'' - \frac{1}{x}y' + y = 3x + \cos x$

最高階の導関数は$y''$で、2階です。係数は$\frac{1}{x}$のように変数を含んでいるので、変数係数です。また、$y''$, $y'$, $y$について線形であり、右辺が$3x + \cos x$なので非同次です。よって、2階線形非同次微分方程式（変数係数）となります。

(3) $y'' + xy' + (2x + 1)y = 3y$

式を整理すると、 $y'' + xy' + (2x - 2)y = 0$となります。

最高階の導関数は$y''$で、2階です。係数は$x$や$(2x-2)$のように変数を含んでいるので、変数係数です。また、$y''$, $y'$, $y$について線形であり、右辺が0なので同次です。よって、2階線形同次微分方程式（変数係数）となります。

(4) $y''' + xy' - y \sin x = 0$

最高階の導関数は$y'''$で、3階です。係数は$x$や$\sin x$のように変数を含んでいるので、変数係数です。また、$y'''$, $y'$, $y$について線形であり、右辺が0なので同次です。よって、3階線形同次微分方程式（変数係数）となります。

3. 最終的な答え

(1) 2階線形同次微分方程式（変数係数）

(2) 2階線形非同次微分方程式（変数係数）

(3) 2階線形同次微分方程式（変数係数）

(4) 3階線形同次微分方程式（変数係数）