$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ $\alpha$が第1象限の角なので、$\cos \alpha > 0$。よって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1)と(2)についてそれぞれ解答します。

**(1) 問題の内容**

$\alpha$が第1象限の角で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$の値を求めよ。

**解き方の手順**

1. $\cos \alpha$を求める。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\alpha$が第1象限の角なので、$\cos \alpha > 0$。よって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

2. $\sin 2\alpha$を求める。$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$より、

$\sin 2\alpha = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

3. $\cos 2\alpha$を求める。$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$より、

$\cos 2\alpha = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

4. $\tan 2\alpha$を求める。$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$より、

$\tan 2\alpha = \frac{\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = 4\sqrt{5}$

**最終的な答え**

$\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$

$\tan 2\alpha = 4\sqrt{5}$

**(2) 問題の内容**

$\alpha$が第2象限の角で、$\cos \alpha = -\frac{1}{3}$のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$の値を求めよ。

**解き方の手順**

1. $\sin \alpha$を求める。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\alpha$が第2象限の角なので、$\sin \alpha > 0$。よって、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. $\sin 2\alpha$を求める。$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$より、

$\sin 2\alpha = 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

3. $\cos 2\alpha$を求める。$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$より、

$\cos 2\alpha = (-\frac{1}{3})^2 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9}$

4. $\tan 2\alpha$を求める。$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$より、

$\tan 2\alpha = \frac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{-\frac{7}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$

**最終的な答え**

$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos 2\alpha = -\frac{7}{9}$

$\tan 2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{7}$