大人3人と子供4人が1列に並ぶ時、以下の並び方は何通りあるか。 (1) 大人が3人続いて並ぶ場合 (2) 大人子供が交互に並ぶ場合

1. 問題の内容

大人3人と子供4人が1列に並ぶ時、以下の並び方は何通りあるか。

(1) 大人が3人続いて並ぶ場合

(2) 大人子供が交互に並ぶ場合

2. 解き方の手順

(1) 大人3人が続いて並ぶ場合

大人3人をひとまとめにして1つのグループと考える。このグループと子供4人の合計5つを並べる。

並べ方は $5!$ 通り。

大人3人のグループの中で、大人の並び方は $3!$ 通り。

したがって、並び方の総数は $5! \times 3!$ 通り。

(2) 大人子供が交互に並ぶ場合

子供の人数が大人よりも多いので、子供が先頭に来る場合のみ考える。

まず子供4人を並べる。並べ方は $4!$ 通り。

子供の間、及び両端の5か所のうち、3か所を選んで大人を並べる。場所の選び方は ${}_5 P_3$ 通り。

大人3人の並び方は $3!$ 通り。

したがって、並び方の総数は $4! \times {}_5 P_3$ 通り。

${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ なので、

$4! \times {}_5 P_3 = 24 \times 60 = 1440$

3. 最終的な答え

(1) $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ 通り

(2) $4! \times {}_5 P_3 = 1440$ 通り