集合 $B_1$ と $B_2$ をそれぞれ $B_1 = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le 0 \}$、$B_2 = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \ge 0 \}$ と定める。このとき、$f(B_1) \cap f(B_2) \subset f(B_1 \cap B_2)$ が成り立つかどうか判定し、成り立つ場合は○、そうでない場合は×を選択する。

1. 問題の内容

集合 $B_1$ と $B_2$ をそれぞれ $B_1 = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le 0 \}$、$B_2 = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \ge 0 \}$ と定める。このとき、$f(B_1) \cap f(B_2) \subset f(B_1 \cap B_2)$ が成り立つかどうか判定し、成り立つ場合は○、そうでない場合は×を選択する。

2. 解き方の手順

まず、$B_1 \cap B_2$ を求める。

$B_1$ は $0$ 以下の整数全体の集合であり、$B_2$ は $0$ 以上の整数全体の集合である。

したがって、$B_1 \cap B_2 = \{0\}$ である。

次に、$f(B_1)$, $f(B_2)$, $f(B_1 \cap B_2)$ を考える。

$f(B_1)$ は $B_1$ の要素を $f$ で写した像全体の集合、$f(B_2)$ は $B_2$ の要素を $f$ で写した像全体の集合、$f(B_1 \cap B_2)$ は $B_1 \cap B_2$ の要素を $f$ で写した像全体の集合である。

$f(B_1) \cap f(B_2)$ は $f(B_1)$ と $f(B_2)$ の共通部分である。

一般に、$f(B_1) \cap f(B_2) \supset f(B_1 \cap B_2)$ が成り立つ。

なぜなら、$x \in B_1 \cap B_2$ ならば、$x \in B_1$ かつ $x \in B_2$ であり、$f(x) \in f(B_1)$ かつ $f(x) \in f(B_2)$。したがって、$f(x) \in f(B_1) \cap f(B_2)$。

$f(B_1) \cap f(B_2) \subset f(B_1 \cap B_2)$ が常に成り立つわけではない。

例えば、$f(x) = x^2$ の場合を考える。

$B_1 = \{ -1, 0 \}$, $B_2 = \{ 0, 1 \}$とすると、$B_1 \cap B_2 = \{0\}$。

$f(B_1) = \{ 0, 1 \}$, $f(B_2) = \{ 0, 1 \}$, $f(B_1 \cap B_2) = \{ 0 \}$。

$f(B_1) \cap f(B_2) = \{ 0, 1 \}$ となり、$f(B_1) \cap f(B_2) \subset f(B_1 \cap B_2)$ は成り立たない。

しかし、問題文では「成り立つ場合は○を、そうでない場合は×を選択せよ」とあるので、一般に成り立つかどうかが問われていると解釈できる。集合の包含関係として、$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ は常に成り立つ。この問題の場合は、$A = B_1$, $B = B_2$ である。

一方、$f(B_1) \cap f(B_2) \subset f(B_1 \cap B_2)$ は一般には成り立たない。

3. 最終的な答え

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