整数 $\mathbb{Z}$ の部分集合 $B_1$ と $B_2$ がそれぞれ $B_1 = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq 0\}$ および $B_2 = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \geq 0\}$ で定義されている。このとき、$f(B_1) \cap f(B_2) \subseteq f(B_1 \cap B_2)$ が成り立つかどうかを判定する問題。成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する。ただし、$f$ はある関数である。
2025/4/28
1. 問題の内容
整数 の部分集合 と がそれぞれ および で定義されている。このとき、 が成り立つかどうかを判定する問題。成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する。ただし、 はある関数である。
2. 解き方の手順
まず、 と の共通部分 を求める。
は 0 以下の整数全体の集合であり、 は 0 以上の整数全体の集合である。したがって、 は 0 のみからなる集合である。
次に、 が成り立つかどうかを検討する。
集合 と について、 が成り立つとは、 の任意の要素が の要素であることである。
ここでは、 に属する任意の要素が に属するかどうかを調べる。
一般に、 が成り立つ。
一方で、 は一般には成り立たない。
しかし、 が成り立つかどうかを問われているので、今回の問題の場合は、 がどのような集合になるかを考える必要がある。
なので、 である。
また、 は、 と の両方に含まれる要素の集合である。
の任意の要素 に対して、 かつ である。
が成り立つかどうかは、 の任意の要素が に含まれるかどうかで判断できる。
いま、具体的な関数 が与えられていないので、 が成り立つとは限らない。
たとえば、 という定数関数を考えた場合、、 となるので、 となる。一方、 となり、この場合は が成り立つ。
しかし、 という関数を考えた場合、 は 以上の整数の集合、 も 以上の整数の集合となり、 は 以上の整数の集合となる。一方、 となり、 は成り立たない。
であることに着目すると、 となる。
一般に、 が成立するとは限らないので×
3. 最終的な答え
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