与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する。

回答いたします。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

サクシード数学I 問題227

次の式を因数分解せよ。

(1) $xy - yz + zx - ux$

(2) $16 + 8b + 2ab - a^2$

(3) $x^2y + x^2 + y - 1$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $xy - yz + zx - ux$

与えられた式を並び替えて、共通因数でくくり出す。

$xy + zx - yz - ux = x(y+z) - u(x+y) = x(y+z) +z(x-y)$

$= (x-z)(y-u)$

並び替えて共通因数を見つけるのが難しい。

式全体を$x$について整理すると

$x(y+z) - yz-wu$

これはうまくいかない．

与えられた式を$x$について整理すると

$x(y+z)+(-yz-ux) = x(y+z)-y(u-z)$

並び替えて共通因数でくくり出す。

$xy-yz+zx-xu = x(y+z) -u(y-z)$

$xy-yz+zx-xu = x(y+z)-z(y-x)$

(2) $16 + 8b + 2ab - a^2$

与えられた式を並び替えて、共通因数でくくり出す。

$16 + 8b + 2ab - a^2 = -(a^2 - 2ab - 8b -16)$

整理すると

$16+8b+2ab-a^2 = -a^2 +2ab +8b +16$

$=-a^2+2ab - b^2+b^2 +8b +16$

$= -(a-b)^2 + (b+4)^2$

$= (b+4+a-b)(b+4-a+b)$

$= (a+4)(2b+4-a) = (a+4)(-a+2b+4)$

(3) $x^2y + x^2 + y - 1$

与えられた式を並び替えて、共通因数でくくり出す。

$x^2y + x^2 + y - 1 = x^2(y+1) + (y-1)$

$x^2y + x^2 + y - 1 = x^2(y+1) + (y+1) -2 = (y+1)(x^2+1)-2$

$x^2y+x^2+y-1 = y(x^2+1) + (x^2-1) = y(x^2+1) + (x+1)(x-1)$

$x^2y + x^2 + y - 1 = x^2(y+1) + y - 1 = x^2(y+1) + (y+1)-2 = (x^2+1)(y+1) - 2$

$x^2y + x^2 + y - 1 = y(x^2+1)+(x^2-1) = y(x^2+1)+(x-1)(x+1)$

$x^2y+x^2+y-1 = x^2(y+1)+(y-1)$

$x^2(y+1)+(y+1) -2= (x^2+1)(y+1)-2$

Grouping:

$x^2(y+1)+(y-1) = (y+1)(x^2+1) -2$

This doesn't seem to be working.

$x^2y + y + x^2-1 = y(x^2+1) + (x+1)(x-1)$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

与えられた式を並び替えて、共通因数でくくり出す。

$x^2 + xy - zx -2y^2 + yz = x^2 + x(y-z) -2y^2 + yz$

$x^2 + xy - zx + yz -2y^2 = x(x+y-z) -y(y+2y)$

式全体を$x$について整理すると

$x^2 + (y-z)x + (-2y^2 + yz) = x^2 + (y-z)x -y(2y-z)$

$= x^2 + (y-z)x -y(2y-z) = (x -y)(x+2y - z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-z)(y-u)$

(2) $(a+4)(-a+2b+4)$

(3) $(x^2+1)(y+1)-2 = y(x^2+1)+(x-1)(x+1)$

(4) $(x -y)(x+2y - z)$