$(x+3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x+3)^4$ を展開します。二項定理は次のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a=x$, $b=3$, $n=4$ です。$x^2$の項を見つけるには、$n-k=2$ となる $k$ を探します。

$4-k=2$ より $k=2$ です。

したがって、$x^2$の項は $\binom{4}{2} x^{4-2} 3^2$ となります。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、$x^2$の項は $6 x^2 \times 3^2 = 6x^2 \times 9 = 54x^2$ となります。

したがって、$x^2$ の項の係数は $54$ です。

3. 最終的な答え

54