10%の食塩水100gが入った容器から、$x$gを取り出し、$x$gの水を加えてよく混ぜるという操作Aを繰り返す。 (1) 操作Aを1回行った後の食塩水の濃度を$x$を用いて表す。 (2) 操作Aを2回行った後の食塩水の濃度が4.9%であったとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

10%の食塩水100gが入った容器から、$x$gを取り出し、$x$gの水を加えてよく混ぜるという操作Aを繰り返す。

(1) 操作Aを1回行った後の食塩水の濃度を$x$を用いて表す。

(2) 操作Aを2回行った後の食塩水の濃度が4.9%であったとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 操作Aを1回行った後について考える。

まず、10%の食塩水100gに含まれる食塩の量は、

$100 \times 0.1 = 10$g

$x$gの食塩水を取り出すと、取り出される食塩の量は、

$x \times 0.1 = 0.1x$g

残った食塩水の量は、$100 - x$g であり、残った食塩の量は、$10 - 0.1x$g である。

ここに$x$gの水を加えるので、全体の食塩水の量は100gに戻る。

したがって、操作Aを1回行った後の食塩水の濃度は、

$\frac{10 - 0.1x}{100} \times 100 = 10 - 0.1x$ (%)

(2) 操作Aを2回行った後について考える。

操作Aを1回行った後の食塩水の濃度は $10 - 0.1x$ (%) であり、食塩水の量は100gである。

操作Aを1回行った後の食塩水に含まれる食塩の量は、

$100 \times \frac{10 - 0.1x}{100} = 10 - 0.1x$g

ここから$x$gを取り出すと、取り出される食塩の量は、

$x \times \frac{10 - 0.1x}{100} = \frac{10x - 0.1x^2}{100}$g

残った食塩水の量は、$100 - x$g であり、残った食塩の量は、$10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{100}$g である。

ここに$x$gの水を加えるので、全体の食塩水の量は100gに戻る。

したがって、操作Aを2回行った後の食塩水の濃度は、

$\frac{10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{100}}{100} \times 100 = 10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{100}$ (%)

これが4.9%なので、

$10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{100} = 4.9$

$1000 - 10x - (10x - 0.1x^2) = 490$

$1000 - 10x - 10x + 0.1x^2 = 490$

$0.1x^2 - 20x + 510 = 0$

$x^2 - 200x + 5100 = 0$

$(x - 30)(x - 170) = 0$

$x = 30, 170$

$0 < x < 100$ より、$x = 30$

3. 最終的な答え

(1) $10 - 0.1x$ (%)

(2) $x = 30$