与えられた多項式が与えられた条件を満たすように、定数 $a$, $b$ の値を定める問題です。 (1) $x^3 - 3x^2 + a$ を $x-1$ で割ると2余る。 (2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x+1$ で割り切れる。 (3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x+2$ で割り切れ、$x+1$ で割ると8余る。

1. 問題の内容

与えられた多項式が与えられた条件を満たすように、定数 $a$, $b$ の値を定める問題です。

(1) $x^3 - 3x^2 + a$ を $x-1$ で割ると2余る。

(2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x+1$ で割り切れる。

(3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x+2$ で割り切れ、$x+1$ で割ると8余る。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$x^3 - 3x^2 + a$ を $x-1$ で割った余りは、$x=1$ を代入した値に等しい。よって、

$1^3 - 3(1)^2 + a = 2$

$1 - 3 + a = 2$

$a = 4$

(2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x+1$ で割り切れるとき、$2x+1=0$ すなわち $x = -\frac{1}{2}$ を代入すると0になる。

$2(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 + a(-\frac{1}{2}) + 6 = 0$

$2(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$-\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$-1 - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$-\frac{a}{2} = -5$

$a = 10$

(3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x+2$ で割り切れるので、$x = -2$ を代入すると0になる。

$(-2)^3 + a(-2)^2 - 5(-2) + b = 0$

$-8 + 4a + 10 + b = 0$

$4a + b + 2 = 0$

$4a + b = -2$ ...(i)

また、$x+1$ で割ると8余るので、$x=-1$ を代入すると8になる。

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 5(-1) + b = 8$

$-1 + a + 5 + b = 8$

$a + b + 4 = 8$

$a + b = 4$ ...(ii)

(i), (ii) の連立方程式を解く。

(i) - (ii) より、

$3a = -6$

$a = -2$

(ii) に $a = -2$ を代入すると、

$-2 + b = 4$

$b = 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $a = 10$

(3) $a = -2$, $b = 6$