与えられた2つの式の展開式における、$x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める問題です。 (1) $(2x+1)^5$ (2) $(3x-2)^6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式の展開式における、$x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める問題です。

(1) $(2x+1)^5$

(2) $(3x-2)^6$

2. 解き方の手順

二項定理を利用して、それぞれの項の係数を求めます。

(1) $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数

二項定理より、

$(2x+1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^k (1)^{5-k}$

$x^2$ の項は $k=2$ のときなので、

$\binom{5}{2} (2x)^2 (1)^{5-2} = \binom{5}{2} (4x^2) (1) = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2$

よって、$x^2$ の係数は $40$ です。

$x^3$ の項は $k=3$ のときなので、

$\binom{5}{3} (2x)^3 (1)^{5-3} = \binom{5}{3} (8x^3) (1) = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3$

よって、$x^3$ の係数は $80$ です。

(2) $(3x-2)^6$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数

二項定理より、

$(3x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (3x)^k (-2)^{6-k}$

$x^2$ の項は $k=2$ のときなので、

$\binom{6}{2} (3x)^2 (-2)^{6-2} = \binom{6}{2} (9x^2) (-2)^4 = 15 \cdot 9x^2 \cdot 16 = 15 \cdot 9 \cdot 16 \cdot x^2 = 2160x^2$

よって、$x^2$ の係数は $2160$ です。

$x^3$ の項は $k=3$ のときなので、

$\binom{6}{3} (3x)^3 (-2)^{6-3} = \binom{6}{3} (27x^3) (-2)^3 = 20 \cdot 27x^3 \cdot (-8) = 20 \cdot 27 \cdot (-8) \cdot x^3 = -4320x^3$

よって、$x^3$ の係数は $-4320$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)^5$ において、

$x^2$ の係数は $40$

$x^3$ の係数は $80$

(2) $(3x-2)^6$ において、

$x^2$ の係数は $2160$

$x^3$ の係数は $-4320$