与えられた6つの式を計算せよ。 (1) $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$ (2) $3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32}$ (3) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$ (4) $(4\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(5\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ (5) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$ (6) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を計算せよ。

(1) $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32}$

(3) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$

(4) $(4\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(5\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$

(5) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$

(6) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2$

2. 解き方の手順

(1) 同類項をまとめる。

$4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (4 + 5 - 7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

(2) 根号の中を簡単にする。

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

よって、

$3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32} = 3(5\sqrt{2}) - 4(3\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (15 - 12 + 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

(3) 和と差の積の公式を使う。

$(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

(4) 展開する。

$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 20 \times 2 + 8\sqrt{6} - 15\sqrt{6} - 6 \times 3 = 40 + 8\sqrt{6} - 15\sqrt{6} - 18 = 22 - 7\sqrt{6}$

(5) 展開する。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 3 + 4\sqrt{18} + 4 \times 6 = 3 + 4 \times 3\sqrt{2} + 24 = 27 + 12\sqrt{2}$

(6) 展開する。

$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 \times 2 - 12\sqrt{14} + 4 \times 7 = 18 - 12\sqrt{14} + 28 = 46 - 12\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $7\sqrt{2}$

(3) $3$

(4) $22 - 7\sqrt{6}$

(5) $27 + 12\sqrt{2}$

(6) $46 - 12\sqrt{14}$