以下の7つの式を因数分解します。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (2) $(x^2-x)^2 - 8(x^2-x) + 12$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ (4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、4番の(1)から(7)までの問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の7つの式を因数分解します。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(2) $(x^2-x)^2 - 8(x^2-x) + 12$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

まず、後ろの3項を-( )でくくると、

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y-1)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形なので、

$(2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x+y-1)(2x-y+1)$

(2) $(x^2-x)^2 - 8(x^2-x) + 12$

$x^2 - x = A$とおくと、$A^2 - 8A + 12$

これは$(A-6)(A-2)$と因数分解できるので、

$(x^2 - x - 6)(x^2 - x - 2)$

それぞれ因数分解して、$(x-3)(x+2)(x-2)(x+1)$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

$x^2$でくくれる項と、それ以外の項で分けて考えると、

$x^2(x+a) - (x^2+a)$とはなりません。

$x^2(x+a) - (x^2+a)$

$x^3 - x^2 + ax^2 - a$と順番を変えると、

$x^2(x-1) + a(x^2 - 1) = x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$(x-1)\{x^2 + a(x+1)\} = (x-1)(x^2 + ax + a)$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

$6x^2 + 7xy + 2y^2 = (2x+y)(3x+2y)$なので、

$(2x+y+A)(3x+2y+B)$とおくと、$AB = -2, 2B + 3A = 1$

これを満たすのは$A=1, B=-2$なので、

$(2x+y+1)(3x+2y-2)$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

$3x^2 + 2xy - y^2 = (3x-y)(x+y)$なので、

$(3x-y+A)(x+y+B)$とおくと、$AB = 4, 3B + A = 7, -B + A = 3$

$A=B+3$なので、$3B + B + 3 = 7$より、$4B=4$, $B=1$

$A=4$なので、$(3x-y+4)(x+y+1)$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

展開すると、$a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 - abc$

$=a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

$=a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$=(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$=(b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$=(b+c)\{a(a+b) + c(a+b)\}$

$=(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

$=ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$=ab^2 - cb^2 - ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2$

$=(a-c)b^2 - (a-c)(a+c)b + ac(c-a)$

$=(a-c)b^2 - (a^2-c^2)b + c^2(a-c)$

$=(a-c)(b^2 - (a+c)b - ac)$

$=(a-c)(b-a)(b-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+y-1)(2x-y+1)$

(2) $(x-3)(x+2)(x-2)(x+1)$

(3) $(x-1)(x^2+ax+a)$

(4) $(2x+y+1)(3x+2y-2)$

(5) $(3x-y+4)(x+y+1)$

(6) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または、(7) $(a-b)(c-b)(a-c)$

または、(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$.

以上のようになります。