与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $2ax^2 - 8a$ (2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$ (4) $2n^3 + 3n^2 + n$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $2ax^2 - 8a$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$

(4) $2n^3 + 3n^2 + n$

2. 解き方の手順

(1) $2ax^2 - 8a$

まず、共通因数 $2a$ をくくり出します。

$2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4)$

次に、$x^2 - 4$ を因数分解します。これは $x^2 - 2^2$ なので、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を使えます。

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

したがって、$2ax^2 - 8a = 2a(x + 2)(x - 2)$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

項を並び替えて、共通因数でくくりやすくします。

$ax^2 - bx^2 - ay^2 + by^2$

$x^2(a - b) - y^2(a - b)$

$(a - b)(x^2 - y^2)$

さらに、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

したがって、$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = (a - b)(x + y)(x - y)$

(3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$

まず、式を展開します。

$(x - 4)(3x + 1) + 10 = 3x^2 + x - 12x - 4 + 10$

$= 3x^2 - 11x + 6$

次に、この二次式を因数分解します。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3)$

(4) $2n^3 + 3n^2 + n$

まず、共通因数 $n$ をくくり出します。

$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1)$

次に、$2n^2 + 3n + 1$ を因数分解します。

$2n^2 + 3n + 1 = (2n + 1)(n + 1)$

したがって、$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n + 1)(n + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x + 2)(x - 2)$

(2) $(a - b)(x + y)(x - y)$

(3) $(3x - 2)(x - 3)$

(4) $n(2n + 1)(n + 1)$