三角錐ABCDにおいて、辺CDは底面ABCに垂直です。AB=3で、辺AB上の2点E, FはAE=EF=FB=1を満たし、$\angle DAC = 30^\circ$, $\angle DEC = 45^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$です。 (1) 辺CDの長さを求めよ。 (2) $\theta = \angle DFC$ とおくとき、$\cos \theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角錐ABCDにおいて、辺CDは底面ABCに垂直です。AB=3で、辺AB上の2点E, FはAE=EF=FB=1を満たし、$\angle DAC = 30^\circ$, $\angle DEC = 45^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$です。

(1) 辺CDの長さを求めよ。

(2) $\theta = \angle DFC$ とおくとき、$\cos \theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺CDの長さを求める。

CDは底面ABCに垂直なので、$\triangle ADC$、$\triangle EDC$、$\triangle BDC$は直角三角形です。

$\triangle ADC$において、$AC = \frac{CD}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3} CD$。

$\triangle EDC$において、$EC = \frac{CD}{\tan 45^\circ} = CD$。

$\triangle BDC$において、$BC = \frac{CD}{\tan 60^\circ} = \frac{CD}{\sqrt{3}}$。

$\triangle ABC$において、$AB=3$、AE=EF=FB=1なので、

EはABを1:2に内分する点、FはABを2:1に内分する点です。

また、$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) = AB^2 = 9$。

また、$\triangle EBC$において、余弦定理より、

$EC^2 = EB^2 + BC^2 - 2EB \cdot BC \cdot \cos(\angle EBC)$。

ただし、$\angle EBC = \angle DBC = 60^\circ$, $EB = EF + FB = 2$。

したがって、$EC^2 = 4 + BC^2 - 4BC \cos 60^\circ = 4 + BC^2 - 2BC$。

$CD^2 = 4 + (\frac{CD}{\sqrt{3}})^2 - 2\frac{CD}{\sqrt{3}}$。

$CD^2 = 4 + \frac{CD^2}{3} - \frac{2CD}{\sqrt{3}}$。

$\frac{2CD^2}{3} + \frac{2CD}{\sqrt{3}} - 4 = 0$。

$CD^2 + \sqrt{3} CD - 6 = 0$。

$CD = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{2}$。

$CD > 0$ より、$CD = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。

(2) $\theta = \angle DFC$とおくとき、$\cos \theta$を求める。

まず、$CD = \sqrt{3}$。

$\triangle ADC$において、$AC = \sqrt{3} CD = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$。

$\triangle BDC$において、$BC = \frac{CD}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$。

$\triangle DFC$において、

$DF^2 = DC^2 + FC^2 = 3 + FC^2$。

$CF^2 = BC^2 + BF^2 - 2BC \cdot BF \cdot \cos B$。

ただし、$\cos B = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $BF = 1$, $BC = 1$。

$CF^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$。

したがって、$CF = 1$。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 1 + 3 = 4$, $BD = 2$。

$\triangle BFD$において、

$DF^2 = DB^2 + BF^2 - 2 DB \cdot BF \cos B$。

$DF^2 = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 3$。

したがって、$DF = \sqrt{3}$。

$\cos \theta = \frac{DF^2 + CF^2 - DC^2}{2 DF \cdot CF} = \frac{3 + 1 - 3}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $CD = \sqrt{3}$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{6}$