半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = \sqrt{3} - 1$, $BC = \sqrt{3} + 1$, $\cos \angle ABC = -\frac{1}{4}$ である。また、三角形 $ACD$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の3倍である。 (1) $AC$, $R$ を求めよ。 (2) $AD \cdot CD$, $AD^2 + CD^2$ を求めよ。 (3) 四角形 $ABCD$ の周の長さを求めよ。

1. 問題の内容

半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = \sqrt{3} - 1$, $BC = \sqrt{3} + 1$, $\cos \angle ABC = -\frac{1}{4}$ である。また、三角形 $ACD$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の3倍である。

(1) $AC$, $R$ を求めよ。

(2) $AD \cdot CD$, $AD^2 + CD^2$ を求めよ。

(3) 四角形 $ABCD$ の周の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$AC$ を求める。三角形 $ABC$ において余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = (\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 - 2 (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) (-\frac{1}{4})$

$AC^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) - 2(3 - 1) (-\frac{1}{4})$

$AC^2 = 8 - 4(-\frac{1}{4})$

$AC^2 = 8 + 1 = 9$

$AC = 3$

次に、$R$ を求める。正弦定理を用いる。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ($\angle ABC$ は $0 < \angle ABC < \pi$ を満たすので正の値をとる)

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\frac{3}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = 2R$

$2R = \frac{12}{\sqrt{15}} = \frac{12 \sqrt{15}}{15} = \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

$R = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

(2) 四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$。

$\cos \angle ADC = \cos (180^\circ - \angle ABC) = - \cos \angle ABC = \frac{1}{4}$

三角形 $ACD$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の3倍であるから、

$\frac{1}{2} AD \cdot CD \sin \angle ADC = 3 \cdot \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC$

$AD \cdot CD \sin \angle ADC = 3 (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) \sin \angle ABC$

$AD \cdot CD \sin \angle ADC = 3 (3 - 1) \frac{\sqrt{15}}{4} = 6 \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \sqrt{15}}{2}$

$\sin \angle ADC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ADC} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$AD \cdot CD \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \sqrt{15}}{2}$

$AD \cdot CD = \frac{3 \sqrt{15}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = 6$

次に、$AD^2 + CD^2$ を求める。三角形 $ACD$ において余弦定理を用いる。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$3^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{4}$

$9 = AD^2 + CD^2 - 3$

$AD^2 + CD^2 = 12$

(3) $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$

よって $\cos \angle ADC = -\cos \angle ABC = 1/4$

$CD+AD = x$ とおくと $(CD+AD)^2= CD^2 + AD^2 + 2AD \cdot CD = x^2$ なので $12+12 = x^2$,

$x = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

四角形 $ABCD$ の周の長さは $AB + BC + CD + DA = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1) + 2 \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $AC = 3$, $R = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

(2) $AD \cdot CD = 6$, $AD^2 + CD^2 = 12$

(3) 四角形 $ABCD$ の周の長さは $2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$