与えられた式 $(x+\frac{1}{x})^4$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+\frac{1}{x})^4$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ で表されます。ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

今回の問題では、$a = x$, $b = \frac{1}{x}$, $n = 4$ となります。

したがって、展開は次のようになります。

$(x+\frac{1}{x})^4 = \binom{4}{0}x^4(\frac{1}{x})^0 + \binom{4}{1}x^3(\frac{1}{x})^1 + \binom{4}{2}x^2(\frac{1}{x})^2 + \binom{4}{3}x^1(\frac{1}{x})^3 + \binom{4}{4}x^0(\frac{1}{x})^4$

各二項係数を計算します。

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$

$\binom{4}{3} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

したがって、

$(x+\frac{1}{x})^4 = 1\cdot x^4 \cdot 1 + 4\cdot x^3 \cdot \frac{1}{x} + 6\cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + 4\cdot x \cdot \frac{1}{x^3} + 1\cdot 1 \cdot \frac{1}{x^4}$

これを整理すると、

$(x+\frac{1}{x})^4 = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$