問題は $(x - \frac{1}{2x})^5$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は $(x - \frac{1}{2x})^5$ を展開することです。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は次のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

今回の問題では、$a = x$, $b = -\frac{1}{2x}$, $n = 5$ です。したがって、

$(x - \frac{1}{2x})^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-\frac{1}{2x})^k$

これを展開すると以下のようになります。

$\binom{5}{0} x^5 (-\frac{1}{2x})^0 + \binom{5}{1} x^4 (-\frac{1}{2x})^1 + \binom{5}{2} x^3 (-\frac{1}{2x})^2 + \binom{5}{3} x^2 (-\frac{1}{2x})^3 + \binom{5}{4} x^1 (-\frac{1}{2x})^4 + \binom{5}{5} x^0 (-\frac{1}{2x})^5$

各項を計算します。

$\binom{5}{0} = 1$

$\binom{5}{1} = 5$

$\binom{5}{2} = 10$

$\binom{5}{3} = 10$

$\binom{5}{4} = 5$

$\binom{5}{5} = 1$

よって、

$1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-\frac{1}{2x}) + 10 \cdot x^3 \cdot (\frac{1}{4x^2}) + 10 \cdot x^2 \cdot (-\frac{1}{8x^3}) + 5 \cdot x \cdot (\frac{1}{16x^4}) + 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{32x^5})$

$= x^5 - \frac{5}{2}x^3 + \frac{10}{4}x - \frac{10}{8}\frac{1}{x} + \frac{5}{16}\frac{1}{x^3} - \frac{1}{32}\frac{1}{x^5}$

$= x^5 - \frac{5}{2}x^3 + \frac{5}{2}x - \frac{5}{4}\frac{1}{x} + \frac{5}{16}\frac{1}{x^3} - \frac{1}{32}\frac{1}{x^5}$

3. 最終的な答え

$x^5 - \frac{5}{2}x^3 + \frac{5}{2}x - \frac{5}{4x} + \frac{5}{16x^3} - \frac{1}{32x^5}$