与えられた定積分 $I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$

の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分はディリクレ積分と呼ばれ、様々な方法で計算できます。ここでは、パラメータ積分を用いる方法を示します。

まず、以下の関数 $I(t)$ を定義します。

$I(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx$

ここで、$t \geq 0$ とします。

$I(0)$ が求める積分 $I$ に一致することに注意してください。つまり、$I(0) = I$ です。

次に、$I(t)$ を $t$ で微分します。

$\frac{dI(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{0}^{\infty} e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx$

積分記号の中で微分すると、

$\frac{dI(t)}{dt} = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} \left( e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} \right) dx = \int_{0}^{\infty} -x e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx$

$\frac{dI(t)}{dt} = -\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin(x) dx$

この積分は、部分積分を2回行うことで計算できます。

$A = \int e^{-tx} \sin(x) dx$ とおくと、

$A = -e^{-tx} \cos(x) - t \int e^{-tx} \cos(x) dx$

$A = -e^{-tx} \cos(x) - t (e^{-tx} \sin(x) + t \int e^{-tx} \sin(x) dx)$

$A = -e^{-tx} \cos(x) - t e^{-tx} \sin(x) - t^2 A$

$(1+t^2) A = -e^{-tx} (\cos(x) + t \sin(x))$

$A = \frac{-e^{-tx}(\cos(x) + t\sin(x))}{1+t^2}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin(x) dx = \left[ \frac{-e^{-tx}(\cos(x) + t\sin(x))}{1+t^2} \right]_{0}^{\infty}$

$= 0 - \frac{-1(1+0)}{1+t^2} = \frac{1}{1+t^2}$

よって、

$\frac{dI(t)}{dt} = - \frac{1}{1+t^2}$

両辺を $t$ で積分すると、

$I(t) = -\arctan(t) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$t \to \infty$ のとき、$I(t) \to 0$ なので、

$0 = -\arctan(\infty) + C = -\frac{\pi}{2} + C$

よって、$C = \frac{\pi}{2}$

したがって、$I(t) = -\arctan(t) + \frac{\pi}{2}$

$I(0) = -\arctan(0) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$